7- 1.1

الميـكانيكـا

الحركة في بعد واحد         Motion in one dimension

اقترانات في الزمن

1.      The position of a particle moving along the x-axis is given by x(t) = 6t2 – t3 m,  where x is in meters and t in seconds. What is the position of the particle when it achieves its maximum speed in the positive x direction?

المعطيات:  الإزاحة بدلالة الزمن؛  x(t) = 6t2 – t3 .

المطلوب:  موضع الجسم عندما تصل سرعته إلى حدها الأقصى.

علينا أولا أن نستخلص السرعة كاقتران في الزمن، ثم نحسب الزمن الذي تصبح عنده هذه السرعة أكبر ما يمكن، وذلك بحساب مشتقة السرعة ومساواتها بالصفر. بعد ذلك نعود لتعويض الزمن في معادلة الإزاحة لإيجاد المطلوب.

v(t) = x’(t)  = 12t – 3t2  Þ      v’(t) = 12 – 6t = 0         Þ t = 2 sec.

 

 وهذا هو الزمن الذي تصبح عنده السرعة أكبر ما يمكن. وإذن فالموضع عند هذا الزمن هو:

x(4) = 6*4 – 8 = 16 m.

 

2.  The position of a particle moving along the x axis is given by x(t) = 21 + 22 t – 6 t2 , where t is in s. What is the average velocity (in m/s) during the time interval t = 1.0 s to t =3.0 s?

 

المعطيات:  الإزاحة بدلالة الزمن؛   x(t) = 21 + 22t – 6t2

المطلوب:  متوسط السرعة خلال الفترة الزمنية  [1-3 s]

يحسب متوسط السرعة من العلاقة

وعليه يكون متوسط السرعة هنا هو

 

3.    The relationship between the velocity of a body moving along the x axis and time is given by v(t) = 3t2 – 2t, where the units are SI units. The displacement of the body between the times t = 2 s and t = 4 s is:

 

المعطيات:  السرعة بدلالة الزمن؛  v(t) = 3t2 – 2t

المطلوب: إزاحة الجسم خلال الفترة الزمنية [2-4 s].

حيث أن السرعة هي مشتقة الإزاحة بالنسبة للزمن فإن الإزاحة هي التكامل الزمني للسرعة.

 

رسوم بيانية

4.   At t = 0, a particle is located at x = 25 m and has a velocity of 15 m/s in the positive x direction. The acceleration of the particle varies with time as shown in the diagram. What is the velocity of the particle at t = 5 s?

 

 

المعطيات:  رسم بياني لتسارع جسيم بدلالة الزمن،  Vo = V(0) = 15 m/s ، x(0) = 25 m.

المطلوب:  سرعة الجسيم عند اللحظة t= 5 s.

باستخدام معادلة الحركة؛   v(t)=vo + at    نلاحظ أن لدينا من المعطيات vo = 15 m/s  وأن الحد at  للزمن t= 5 s، هو المساحة تحت الخط المستقيم في الرسم المعطى، أي مساحة المثلث والتي تساوي 15m/s. وبذلك تكون السرعة عند t= 5 s هي :

v(5) = 15 + 15 = 30 m/s.

طريقة أخرى.

نحتاج هنا إلى حساب السرعة اللحظية v(t) لهذا الجسيم. وحيث أن التسارع متغير، فعلينا أولا إيجاد التسارع اللحظي a(t). وذلك من معادلة الخط المستقيم في الرسم المعطى.

بملاحظة ميل الخط ومقطعه الصادي، نجد أن معادلة الخط المستقيم هنا هي:

وعليه تكون السرعة اللحظية هي:

ولحساب الثابت C نحتاج لاستخدام الشرط الابتدائي المعطى، V(0) = 15 m/s، حيث:

والآن يمكننا كتابة السرعة اللحظية v(t) = 6t – 0.6t2 +15  ، ونحسب منها السرعة عند t = 5 s فتكون:

 v(5) = 30 m/s.

 

5.    In the graph besides, find:

 (a) the total distance traveled between t = 0 and t = 7 s.

 (b) the displacement traveled between t = 0 and t = 5 s.

 

 

 

المعطيات:  رسم بياني لإزاحة جسيم بدلالة الزمن.

المطلوب:  (أ) المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة [t=0-7 s]

             (ب) الإزاحة المقطوعة في الفترة [t=0-5 s]

(أ) المسافة هي طول المسار الذي تحركه الجسيم خلال الرحلة كلها. فإذا قسمنا الرحلة إلى ثلاث مراحل حسب الشكل، فسنجد أن المسافة المقطوعة في المرحلة الأولى هي خمسة أمتار. وفي الثانية هي صفر، أما في الثالثة فهي خمسة أمتار. وعليه فالمسافة الكلية هي 15 m .

(ب) أما الإزاحة فهي الفرق في الموضع بين نقطتي البداية والنهاية وهي هنا صفر.

 

 

6.    The graph shown beside represents the velocity of a particle as a function of time. Calculate (a) the acceleration of the particle at t =5 s, (b) the displacement traveled between t = 2s and t = 6 s.

 

 

المعطيات:  رسم بياني لسرعة جسيم بدلالة الزمن.

المطلوب:  (أ) تسارع الجسيم عند اللحظة t=5 s ، (ب) المسافة المقطوعة في الفترة [t=2-6 s].

(أ) التسارع على منحنى السرعة ضد الزمن هو ميل المنحنى عند الزمن المطلوب وهو هنا الميل السالب للخط المستقيم الذي يمثل المرحلة الثالثة في الرسم. أي أن            a = -1.5  m/s2

(ب) أما الإزاحة فهي المساحة تحت المنحنى في الفترة المطلوبة. أي        x = 6 + 3 = 9 m.